Completar el cuadrado para x

Oct 13, 2025 by talynt.org 62 views

Introducción

Las ecuaciones de la forma ax² + by² + c = 0 representan elípticas, que son curvas cerradas y simétricas con respecto a sus ejes principales. En este artículo, nos enfocaremos en determinar los elementos de la elipse representada por la ecuación 9x² + 5y² - 45 = 0. Los elementos de una elipse incluyen el centro, los ejes principales, la longitud de los ejes, la distancia focal y la ecuación en forma estándar.

Ecuación de la elipse

La ecuación dada es 9x² + 5y² - 45 = 0. Para determinar los elementos de la elipse, necesitamos reescribir la ecuación en forma estándar, que es (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1, donde (h, k) es el centro de la elipse, y a y b son las longitudes de los ejes principales.

Reescribir la ecuación en forma estándar

Para reescribir la ecuación en forma estándar, necesitamos completar el cuadrado para ambas variables x e y.

Completar el cuadrado para x

Primero, completamos el cuadrado para la variable x:

9x² = 9(x² + 5/9)

Ahora, podemos reescribir la ecuación como:

9(x² + 5/9) + 5y² - 45 = 0

Completar el cuadrado para y

A continuación, completamos el cuadrado para la variable y:

5y² = 5(y² + 9/25)

Ahora, podemos reescribir la ecuación como:

9(x² + 5/9) + 5(y² + 9/25) - 45 = 0

Simplificar la ecuación

Ahora, podemos simplificar la ecuación:

9(x² + 5/9) + 5(y² + 9/25) = 45

Completar el cuadrado

Ahora, podemos completar el cuadrado para ambas variables x e y:

9(x² + 5/9) = 9(x + √(5/9))²/4 5(y² + 9/25) = 5(y + √(9/25))²/4

Ahora, podemos reescribir la ecuación como:

9(x + √(5/9))²/4 + 5(y + √(9/25))²/4 = 45

Simplificar la ecuación

Ahora, podemos simplificar la ecuación:

(x + √(5/9))²/4 + (y + √(9/25))²/4 = 45/9

Ecuación en forma estándar

Ahora, podemos reescribir la ecuación en forma estándar:

(x + √(5/9))²/4 + (y + √(9/25))²/4 = 5

Determinar los elementos de la elipse

Ahora que tenemos la ecuación en forma estándar, podemos determinar los elementos de la elipse:

Centro: El centro de la elipse es (-√(5/9), -√(9/25)).
Ejes principales: Los ejes principales de la elipse son 2√(4/9) y 2√(4/25).
Longitud de los ejes: La longitud de los ejes principales es 2√(4/9) y 2√(4/25).
Distancia focal: La distancia focal de la elipse es √(4/9) y √(4/25).
Ecuación en forma estándar: La ecuación en forma estándar de la elipse es (x + √(5/9))²/4 + (y + √(9/25))²/4 = 5.

Conclusión

Preguntas frecuentes

¿Qué es una elipse?

Una elipse es una curva cerrada y simétrica con respecto a sus ejes principales. La ecuación de una elipse generalmente se representa por la forma ax² + by² + c = 0.

¿Cómo se determinan los elementos de una elipse?

Los elementos de una elipse se determinan reescribiendo la ecuación en forma estándar, que es (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1, donde (h, k) es el centro de la elipse, y a y b son las longitudes de los ejes principales.

¿Cuáles son los elementos de la elipse 9x² + 5y² - 45 = 0?

Los elementos de la elipse 9x² + 5y² - 45 = 0 son:

Centro: El centro de la elipse es (-√(5/9), -√(9/25)).
Ejes principales: Los ejes principales de la elipse son 2√(4/9) y 2√(4/25).
Longitud de los ejes: La longitud de los ejes principales es 2√(4/9) y 2√(4/25).
Distancia focal: La distancia focal de la elipse es √(4/9) y √(4/25).
Ecuación en forma estándar: La ecuación en forma estándar de la elipse es (x + √(5/9))²/4 + (y + √(9/25))²/4 = 5.

¿Cómo se utiliza la ecuación en forma estándar de una elipse?

La ecuación en forma estándar de una elipse se utiliza para determinar los elementos de la elipse, como el centro, los ejes principales, la longitud de los ejes, la distancia focal y la ecuación en forma estándar.

¿Qué es la distancia focal de una elipse?

La distancia focal de una elipse es la distancia desde el centro de la elipse hasta el punto focal, que es el punto donde la elipse se interseca con su eje transversal.

¿Cómo se determina la distancia focal de una elipse?

La distancia focal de una elipse se determina utilizando la ecuación en forma estándar de la elipse. La distancia focal es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las longitudes de los ejes principales.

¿Qué es la ecuación en forma estándar de una elipse?

La ecuación en forma estándar de una elipse es (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1, donde (h, k) es el centro de la elipse, y a y b son las longitudes de los ejes principales.

¿Cómo se utiliza la ecuación en forma estándar de una elipse para determinar los elementos de la elipse?

Conclusión

En este artículo, hemos respondido a algunas de las preguntas frecuentes sobre la elipse 9x² + 5y² - 45 = 0. Esperamos que esta información sea útil para aquellos que buscan aprender más sobre las elipses y sus elementos.