Reglas de las operaciones con exponentes

Oct 13, 2025 by talynt.org 85 views

Introducción

La expresión dada es una ecuación que involucra la multiplicación de variables con exponentes. En este caso, tenemos la expresión $ x^{-3} \cdot x^9 \cdot x^{-7} $, y nuestro objetivo es simplificarla para obtener un exponente positivo solo. Para lograr esto, debemos aplicar las reglas de las operaciones con exponentes.

Reglas de las operaciones con exponentes

Cuando multiplicamos variables con exponentes, podemos sumar los exponentes si los exponentes son iguales. Por ejemplo, $ x^a \cdot x^b = x^{a+b} $. Sin embargo, si los exponentes son diferentes, debemos aplicar la regla de la potencia de una potencia, que establece que $ (x^a)b = x^{ab} $.

Simplificar la expresión

Para simplificar la expresión $ x^{-3} \cdot x^9 \cdot x^{-7} $, podemos comenzar multiplicando los exponentes de la misma base. Tenemos:

x^{-3} \cdot x^9 \cdot x^{-7} = x^{(-3)+9+(-7)}

Ahora, podemos simplificar el exponente sumando los números:

x^{(-3)+9+(-7)} = x^{(-3-7)+9}

x^{(-3-7)+9} = x^{-10+9}

x^{-10+9} = x^{-1}

Conclusión

La expresión $ x^{-3} \cdot x^9 \cdot x^{-7} $ se puede simplificar a $ x^{-1} $, que es igual a $ \frac{1}{x} $. Esto se debe a que cuando un exponente es negativo, podemos escribir la variable como una fracción con el exponente positivo en el denominador.

Ejemplo de aplicación

La simplificación de expresiones con exponentes es una habilidad fundamental en matemáticas, y se aplica en una variedad de contextos, como la resolución de ecuaciones y la manipulación de funciones. Por ejemplo, si tenemos la ecuación $ x^2 \cdot x^{-4} = x^3 $, podemos simplificar la izquierda multiplicando los exponentes:

x^2 \cdot x^{-4} = x^{2+(-4)}

x^{2+(-4)} = x^{-2}

Ahora, podemos igualar los exponentes de ambos lados de la ecuación:

x^{-2} = x^3

\frac{1}{x^2} = x^3

x^{-2} = x^3

Aplicaciones en la vida real

La simplificación de expresiones con exponentes tiene aplicaciones en una variedad de campos, como la física, la ingeniería y la economía. Por ejemplo, en la física, la ley de la gravedad de Newton establece que la fuerza de la gravedad entre dos objetos es proporcional a la masa de los objetos y al cuadrado de la distancia entre ellos. Esto se puede escribir como una ecuación con exponentes:

F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}

donde $ F $ es la fuerza de la gravedad, $ G $ es la constante de gravitación, $ m_1 $ y $ m_2 $ son las masas de los objetos, y $ r $ es la distancia entre ellos.

Conclusión final

En resumen, la simplificación de expresiones con exponentes es una habilidad fundamental en matemáticas que se aplica en una variedad de contextos. Al aplicar las reglas de las operaciones con exponentes, podemos simplificar expresiones como $ x^{-3} \cdot x^9 \cdot x^{-7} $ para obtener un exponente positivo solo. Esto tiene aplicaciones en la vida real, como la resolución de ecuaciones y la manipulación de funciones.

¿Qué son los exponentes?

Los exponentes son números que se elevan a una potencia de una variable. Por ejemplo, en la expresión $ x^2 $, el exponente es 2 y la variable es x.

¿Cómo se simplifican las expresiones con exponentes?

Las expresiones con exponentes se simplifican multiplicando los exponentes de la misma base. Por ejemplo, en la expresión $ x^a \cdot x^b $, podemos sumar los exponentes para obtener $ x^{a+b} $.

¿Qué pasa cuando los exponentes son diferentes?

Cuando los exponentes son diferentes, debemos aplicar la regla de la potencia de una potencia, que establece que $ (x^a)b = x^{ab} $. Por ejemplo, en la expresión $ (x²⁾3 $, podemos aplicar esta regla para obtener $ x^{2\cdot3} = x^6 $.

¿Cómo se simplifican las expresiones con exponentes negativos?

Las expresiones con exponentes negativos se pueden simplificar escribiendo la variable como una fracción con el exponente positivo en el denominador. Por ejemplo, en la expresión $ x^{-2} $, podemos escribir la variable como $ \frac{1}{x^2} $.

¿Qué es la regla de la potencia de una potencia?

La regla de la potencia de una potencia establece que $ (x^a)b = x^{ab} $. Esto significa que cuando elevamos una potencia a otra potencia, podemos multiplicar los exponentes.

¿Cómo se simplifican las expresiones con exponentes fraccionarios?

Las expresiones con exponentes fraccionarios se pueden simplificar escribiendo la variable como una raíz cuadrada o una raíz cúbica, dependiendo del exponente. Por ejemplo, en la expresión $ x^{\frac{1}{2}} $, podemos escribir la variable como $ \sqrt{x} $.

¿Qué es la ley de la potencia de una potencia?

La ley de la potencia de una potencia establece que $ (x^a)b = x^{ab} $. Esto significa que cuando elevamos una potencia a otra potencia, podemos multiplicar los exponentes.

¿Cómo se simplifican las expresiones con exponentes en la vida real?

Las expresiones con exponentes se simplifican en una variedad de contextos, como la física, la ingeniería y la economía. Por ejemplo, en la física, la ley de la gravedad de Newton establece que la fuerza de la gravedad entre dos objetos es proporcional a la masa de los objetos y al cuadrado de la distancia entre ellos. Esto se puede escribir como una ecuación con exponentes.

¿Qué es la regla de la potencia de una potencia en la vida real?

La regla de la potencia de una potencia se aplica en una variedad de contextos, como la física, la ingeniería y la economía. Por ejemplo, en la física, la ley de la gravedad de Newton establece que la fuerza de la gravedad entre dos objetos es proporcional a la masa de los objetos y al cuadrado de la distancia entre ellos. Esto se puede escribir como una ecuación con exponentes.

¿Cómo se simplifican las expresiones con exponentes en la resolución de ecuaciones?

Las expresiones con exponentes se simplifican en la resolución de ecuaciones multiplicando los exponentes de la misma base. Por ejemplo, en la ecuación $ x^2 \cdot x^{-4} = x^3 $, podemos simplificar la izquierda multiplicando los exponentes para obtener $ x^{-2} = x^3 $.

¿Qué es la regla de la potencia de una potencia en la resolución de ecuaciones?

La regla de la potencia de una potencia se aplica en la resolución de ecuaciones multiplicando los exponentes de la misma base. Por ejemplo, en la ecuación $ x^2 \cdot x^{-4} = x^3 $, podemos simplificar la izquierda multiplicando los exponentes para obtener $ x^{-2} = x^3 $.

¿Cómo se simplifican las expresiones con exponentes en la manipulación de funciones?

Las expresiones con exponentes se simplifican en la manipulación de funciones multiplicando los exponentes de la misma base. Por ejemplo, en la función $ f(x) = x^2 \cdot x^{-4} $, podemos simplificar la función multiplicando los exponentes para obtener $ f(x) = x^{-2} $.

¿Qué es la regla de la potencia de una potencia en la manipulación de funciones?

La regla de la potencia de una potencia se aplica en la manipulación de funciones multiplicando los exponentes de la misma base. Por ejemplo, en la función $ f(x) = x^2 \cdot x^{-4} $, podemos simplificar la función multiplicando los exponentes para obtener $ f(x) = x^{-2} $.