Resolviendo las Ecuaciones

Oct 13, 2025 by talynt.org 79 views

El Valor de los Términos de una Progresión Aritmética

Introducción

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada pair de términos es constante. En este artículo, exploraremos cómo encontrar el valor de los términos de una progresión aritmética dada ciertas condiciones. Se nos da que el ${ $4^{\circ}\$}$ y ${ $7^{\circ}\$}$ término de una progresión aritmética suman 85, y el ${ $17^{\circ}\$}$ y ${ $21^{\circ}\$}$ término suman 220. Nuestro objetivo es encontrar el valor de estos términos.

Definición de Progresión Aritmética

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada pair de términos es constante. Esto significa que si tenemos una progresión aritmética con términos ${a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots}$ , entonces la diferencia entre cada pair de términos es ${d}$ .

Ecuaciones para Resolver

Se nos da que el ${ $4^{\circ}\$}$ y ${ $7^{\circ}\$}$ término de una progresión aritmética suman 85, y el ${ $17^{\circ}\$}$ y ${ $21^{\circ}\$}$ término suman 220. Esto se puede representar mediante las siguientes ecuaciones:

\begin{align*} a + (a + 3d) &= 85 \ a + (a + 14d) &= 220 \end{align*}

Resolviendo las Ecuaciones

Podemos simplificar las ecuaciones anteriores para obtener:

\begin{align*} 2a + 3d &= 85 \ 2a + 14d &= 220 \end{align*}

Restando la primera ecuación de la segunda, obtenemos:

\begin{align*} 11d &= 135 \ d &= 135/11 \ d &= 12.27 \end{align*}

Sustituyendo el valor de ${d}$ en la primera ecuación, obtenemos:

\begin{align*} 2a + 3(12.27) &= 85 \ 2a + 36.81 &= 85 \ 2a &= 48.19 \ a &= 24.10 \end{align*}

Valor de los Términos

Ahora que tenemos el valor de ${a}$ y ${d}$ , podemos encontrar el valor de los términos ${ $4^{\circ}\$}$ y ${ $7^{\circ}\$}$ y el ${ $17^{\circ}\$}$ y ${ $21^{\circ}\$}$ .

El ${ $4^{\circ}\$}$ término es:

\begin{align*} a + 3d &= 24.10 + 3(12.27) \ &= 24.10 + 36.81 \ &= 60.91 \end{align*}

El ${ $7^{\circ}\$}$ término es:

\begin{align*} a + 6d &= 24.10 + 6(12.27) \ &= 24.10 + 73.62 \ &= 97.72 \end{align*}

El ${ $17^{\circ}\$}$ término es:

\begin{align*} a + 16d &= 24.10 + 16(12.27) \ &= 24.10 + 196.32 \ &= 220.42 \end{align*}

El ${ $21^{\circ}\$}$ término es:

\begin{align*} a + 20d &= 24.10 + 20(12.27) \ &= 24.10 + 245.40 \ &= 269.50 \end{align*}

Conclusión

En este artículo, hemos encontrado el valor de los términos de una progresión aritmética dada ciertas condiciones. Se nos dio que el ${ $4^{\circ}\$}$ y ${ $7^{\circ}\$}$ término de una progresión aritmética suman 85, y el ${ $17^{\circ}\$}$ y ${ $21^{\circ}\$}$ término suman 220. Nuestro objetivo era encontrar el valor de estos términos. Al resolver las ecuaciones, encontramos que el valor de los términos es ${ $60.91, 97.72, 220.42, 269.50}$ .
Preguntas y Respuestas sobre Progresiones Aritméticas

¿Qué es una progresión aritmética?

¿Cómo se calcula la diferencia común en una progresión aritmética?

La diferencia común en una progresión aritmética se calcula restando un término de otro término. Por ejemplo, si tenemos una progresión aritmética con términos ${a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots}$ , entonces la diferencia común es ${d}$ .

¿Cómo se calcula el valor de un término en una progresión aritmética?

El valor de un término en una progresión aritmética se calcula sumando la diferencia común al término anterior. Por ejemplo, si tenemos una progresión aritmética con términos ${a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots}$ , entonces el valor del término ${n}$ es:

\begin{align*} a + (n-1)d \end{align*}

¿Cómo se calcula la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética?

La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se calcula usando la fórmula:

\begin{align*} S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \end{align*}

¿Cuál es la importancia de las progresiones aritméticas en la vida real?

Las progresiones aritméticas tienen muchas aplicaciones en la vida real, como en la economía, la física y la ingeniería. Por ejemplo, las progresiones aritméticas se utilizan para modelar la crecimiento de una población, la variación de la temperatura en un día y la distribución de la energía en un sistema.

¿Cómo se pueden utilizar las progresiones aritméticas para resolver problemas en la vida real?

Las progresiones aritméticas se pueden utilizar para resolver problemas en la vida real de varias maneras. Por ejemplo, se pueden utilizar para:

Modelar la crecimiento de una población y predecir su tamaño en el futuro.
Analizar la variación de la temperatura en un día y predecir la temperatura en un momento futuro.
Distribuir la energía en un sistema y predecir la cantidad de energía que se necesita para realizar una tarea.

¿Qué son las progresiones aritméticas finitas y infinitas?

Las progresiones aritméticas finitas son progresiones aritméticas que tienen un número finito de términos. Las progresiones aritméticas infinitas son progresiones aritméticas que tienen un número infinito de términos.

¿Cómo se calcula la suma de una progresión aritmética finita?

La suma de una progresión aritmética finita se calcula usando la fórmula:

\begin{align*} S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \end{align*}

¿Cómo se calcula la suma de una progresión aritmética infinita?

La suma de una progresión aritmética infinita se calcula usando la fórmula:

\begin{align*} S = \frac{a}{1-r} \end{align*}

donde ${r}$ es la razón común de la progresión aritmética.

¿Qué es la razón común en una progresión aritmética?

La razón común en una progresión aritmética es el cociente entre la diferencia común y el primer término. Por ejemplo, si tenemos una progresión aritmética con términos ${a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots}$ , entonces la razón común es ${d/a}$ .

¿Cómo se calcula la razón común en una progresión aritmética?

La razón común en una progresión aritmética se calcula dividiendo la diferencia común por el primer término. Por ejemplo, si tenemos una progresión aritmética con términos ${a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots}$ , entonces la razón común es ${d/a}$ .